初期手札に特定のカードが来る確率は？

初期手札に特定のカードが来る確率がどれだけなのか、計算してみようと思う。

遊戯王ではメインデッキのカードの枚数は40枚から60枚までの間で好きなように決められる。これを N とする。先攻は初期手札が5枚。後攻も初期手札は5枚だが、すぐにもう1枚ドローできるので、事実上6枚と考えることもできる。初期手札の枚数を n とする。初期手札に来てほしい特定のカードの枚数は0枚から3枚までの間で好きなように決められる。これを M とする。

さて、初期手札に1枚でも良いから特定のカードが来る確率を求めたいが、ズルをして逆に考えて、1枚も来ない確率を考えることにする。それを q (N, n, M) とすると、

q (N, n, M) = { (N – M) / N } * { (N – 1 – M) / (N – 1) } * …

… * { (N – (n – 1) – M) / (N – (n – 1)) }

となるから、

= { (N – M) ! / (N – n – M) ! } * { (N – n) ! / N ! }

= P (N – n , M) / P (N , M)

ここで P (n , m) = n ! / m ! は順列。何かもっと簡単になる？ 分かんないけど、もう具体的な数値を代入しちゃえ。

デッキが60枚とすると N = 60 で、初期手札の枚数が5とすると n = 5で、特定のカードが3枚入っているとすると M = 3 だから、

q (60, 5, 3) = P (55, 3) / P (60, 3) = ( 55 * 54 * 53 ) / ( 60 * 59 * 58 )

= 76.6 %

ということは、特定のカードが少なくとも1枚は初期手札に来るという確率は、この q を100%から引いた値なので、

100 % – 76.6 % = 23.3 %

約 1 / 4 ってことかぁ。結構高いね。

40枚デッキだと 33.8% だから、ちょうど 1 / 3 くらいだね。必殺カードが決まってる速攻デッキなら40枚の方が勝率が高くなることが期待できるってわけね。

計算結果を見る限り、妥当な数値になったから間違ってないと思うけど、間違ってたら教えてね。